Vertex-vorm: wat is het? Hoe bereken je het?

feature_vertexformparabolae

Als je eenmaal de kwadratische formule en de basis van kwadratische vergelijkingen koud hebt, is het tijd voor het volgende niveau van je relatie met parabolen: leren over hun hoekpunt vorm .

Lees verder om meer te weten te komen over de parabool vertex-vorm en hoe u een kwadratische vergelijking van standaardvorm naar vertex-vorm kunt converteren.



functie afbeelding tegoed: SBA73 /Flickr

Waarom is Vertex Form nuttig? Een overzicht

De hoekpunt vorm van een vergelijking is een alternatieve manier om de vergelijking van een parabool op te schrijven.

Normaal gesproken ziet u een kwadratische vergelijking geschreven als $ax^2+bx+c$, die, als u er een grafiek van maakt, een parabool zal zijn. Vanuit deze vorm is het eenvoudig genoeg om de wortels van de vergelijking te vinden (waar de parabool de $x$-as raakt) door de vergelijking gelijk te stellen aan nul (of door de kwadratische formule te gebruiken).

Als u het hoekpunt van een parabool moet vinden, is de standaard kwadratische vorm echter veel minder nuttig. In plaats daarvan wilt u uw kwadratische vergelijking omzetten in hoekpuntvorm.

Wat is vertex-vorm?

Terwijl de standaard kwadratische vorm $ax^2+bx+c=y$ is, de topvorm van een kwadratische vergelijking is $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

In beide vormen is $y$ de $y$-coördinaat, $x$ is de $x$-coördinaat en $a$ is de constante die aangeeft of de parabool naar boven ($+a$) of naar beneden wijst ($-a$). (Ik denk erover na alsof de parabool een kom appelmoes is; als er een $+a$ is, kan ik appelmoes aan de kom toevoegen; als er een $-a$ is, kan ik de appelmoes uit de kom schudden.)

Het verschil tussen de standaardvorm van een parabool en de topvorm is dat de topvorm van de vergelijking je ook de top van de parabool geeft: $(h,k)$.

Kijk bijvoorbeeld eens naar deze fijne parabool, $y=3(x+4/3)^2-2$:

body_afineparabool

Op basis van de grafiek ziet het hoekpunt van de parabool er ongeveer uit als (-1,5,-2), maar het is moeilijk om precies te zeggen waar het hoekpunt is, alleen al uit de grafiek. Gelukkig weten we op basis van de vergelijking $y=3(x+4/3)^2-2$ dat het hoekpunt van deze parabool $(-4/3,-2)$ is.

Waarom is het hoekpunt $(-4/3,-2)$ en niet $(4/3,-2)$ (behalve de grafiek, die duidelijk maakt dat zowel de $x$- als $y$-coördinaten van het hoekpunt is negatief)?

Herinneren: in de vertex-vormvergelijking wordt $h$ afgetrokken en wordt $k$ toegevoegd . Als je een negatieve $h$ of een negatieve $k$ hebt, moet je ervoor zorgen dat je de negatieve $h$ aftrekt en de negatieve $k$ optelt.

In dit geval betekent dit:

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x - (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

en dus is het hoekpunt $(-4/3,-2)$.

U moet altijd uw positieve en negatieve tekens controleren bij het uitschrijven van een parabool in de vorm van een hoekpunt , vooral als het hoekpunt geen positieve $x$ en $y$ waarden heeft (of voor jullie kwadrantkoppen daarbuiten, als het niet in kwadrant I staat). Dit is vergelijkbaar met de controle die u zou doen als u de kwadratische formule ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) zou oplossen en die nodig was om ervoor te zorgen dat u uw positieve en negatieven rechtstreeks voor uw $a$s, $b$s en $c$s.

Hieronder staat een tabel met verdere voorbeelden van enkele andere paraboolvertex-vormvergelijkingen, samen met hun hoekpunten. Let in het bijzonder op het verschil in het $(x-h)^2$ deel van de paraboolvertex-vormvergelijking wanneer de $x$-coördinaat van de vertex negatief is.

Parabool Vertex-vorm

Vertex Coördinaten

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

$ (4.17) $

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ (- 1/2, -2) $

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

$ (- 2.4,2.4) $

Hoe te converteren van standaard kwadratische vorm naar vertex-vorm

Meestal wanneer u wordt gevraagd om kwadratische vergelijkingen tussen verschillende vormen om te zetten, gaat u van de standaardvorm ($ax^2+bx+c$) naar de vertexvorm ($a(xh)^2+k$ ).

Het proces van het converteren van uw vergelijking van standaard kwadratische naar vertex-vorm omvat het uitvoeren van een reeks stappen die het voltooien van het vierkant worden genoemd. (Lees dit artikel voor meer informatie over het invullen van het vierkant.)

Laten we een voorbeeld doornemen van het converteren van een vergelijking van standaardvorm naar hoekpuntvorm. We beginnen met de vergelijking $y=7x^2+42x-3/14$.

Het eerste dat u wilt doen, is de constante verplaatsen, of de term zonder $x$ of $x^2$ ernaast. In dit geval is onze constante $ -3/14$. (We weten dat het is negatief /14$ omdat de standaard kwadratische vergelijking $ax^2+bx+c$ is, niet $ax^2+bx-c$.)

Eerst nemen we die $ -3/14 $ en verplaatsen deze naar de linkerkant van de vergelijking:

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

De volgende stap is om de 7 (de $ a $ waarde in de vergelijking) vanaf de rechterkant te ontbinden, zoals zo:

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Super goed! Deze vergelijking lijkt veel meer op een hoekpuntvorm, $y=a(x-h)^2+k$.

Op dit moment denk je misschien: 'Het enige wat ik nu hoef te doen, is de $ 3/14 $ terug naar de rechterkant van de vergelijking verplaatsen, toch?' Helaas, niet zo snel.

Als je een deel van de vergelijking tussen haakjes bekijkt, zul je een probleem opmerken: het is niet in de vorm van $(x-h)^2$. Er zijn te veel $x$s! We zijn dus nog niet helemaal klaar.

Wat we nu moeten doen, is het moeilijkste deel: het plein afmaken.

Laten we het $x^2+6x$ deel van de vergelijking eens nader bekijken. Om $(x^2+6x)$ te ontbinden in iets dat lijkt op $(xh)^2$, moeten we een constante toevoegen aan de binnenkant van de haakjes - en we zullen moeten onthouden om die constante ook aan de andere kant van de vergelijking toe te voegen (omdat de vergelijking in evenwicht moet blijven).

Om dit in te stellen (en ervoor te zorgen dat we niet vergeten de constante aan de andere kant van de vergelijking toe te voegen), gaan we een lege ruimte maken waar de constante aan weerszijden van de vergelijking komt:

$ y + 14/3 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Merk op dat we aan de linkerkant van de vergelijking ervoor hebben gezorgd dat onze $a$-waarde, 7, vóór de ruimte staat waar onze constante zal komen; dit komt omdat we niet alleen de constante aan de rechterkant van de vergelijking toevoegen, maar we vermenigvuldigen de constante met wat er buiten de haakjes staat. (Als uw $a$-waarde 1 is, hoeft u zich hier geen zorgen over te maken.)

De volgende stap is om het vierkant te voltooien. In dit geval is het vierkant dat u aan het invullen bent de vergelijking tussen haakjes - door een constante toe te voegen, verandert u het in een vergelijking die als een vierkant kan worden geschreven.

Om die nieuwe constante te berekenen, neemt u de waarde naast $x$ (6, in dit geval), deelt u deze door 2 en kwadrateert u deze.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. De constante is 9.

De reden dat we de 6 halveren en kwadrateren is dat we weten dat in een vergelijking in de vorm $(x+p)(x+p)$ (wat we proberen te bereiken), $px+px= 6x$, dus $p=6/2$; om de constante $p^2$ te krijgen, moeten we dus /2$ (onze $p$) nemen en kwadrateren.

Vervang nu de lege ruimte aan weerszijden van onze vergelijking door de constante 9:

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Factor vervolgens de vergelijking binnen de haakjes. Omdat we het vierkant hebben voltooid, kun je het ontbinden als $(x+{some umber})^2$.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Laatste stap: verplaats de niet-$y$ waarde van de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant:

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

hebben ucs sat-essay nodig require

Gefeliciteerd! U hebt uw vergelijking met succes omgezet van standaard kwadratische naar vertex-vorm.

Nu vragen de meeste problemen je niet alleen om je vergelijkingen om te zetten van de standaardvorm naar de hoekpuntvorm; ze willen dat je de coördinaten van het hoekpunt van de parabool geeft.

Laten we, om te voorkomen dat we misleid worden door tekenveranderingen, de algemene vertex-vormvergelijking direct boven de vertex-vormvergelijking die we zojuist hebben berekend opschrijven:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

En dan kunnen we gemakkelijk $h$ en $k$ vinden:

$-h=3$

$h=-3$

$ + k = -63 {3/14} $

Het hoekpunt van deze parabool bevindt zich op coördinaten $(-3,-63{3/14})$.

Oef, dat waren een hoop geschuifel nummers! Gelukkig is het omzetten van vergelijkingen in de andere richting (van hoekpunt naar standaardvorm) een stuk eenvoudiger.

body_shufflearoundnumbers

Hoe te converteren van Vertex Form naar Standard Form

Het omzetten van vergelijkingen van hun vertexvorm naar de reguliere kwadratische vorm is een veel eenvoudiger proces: het enige wat u hoeft te doen is de vertexvorm te vermenigvuldigen.

Laten we onze voorbeeldvergelijking van eerder nemen, $y=3(x+4/3)^2-2$. Om dit in standaardvorm om te zetten, breiden we gewoon de rechterkant van de vergelijking uit:

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tadá! U heeft $y=3(x+4/3)^2-2$ succesvol omgezet naar de $ax^2+bx+c$ vorm.

body_vertexformquestions

Parabool Vertex Form Oefening: voorbeeldvragen

Om deze verkenning van de vertex-vorm af te ronden, hebben we vier voorbeeldproblemen en verklaringen. Kijk of je de problemen zelf kunt oplossen voordat je de uitleg doorleest!

#1: Wat is de topvorm van de kwadratische vergelijking $x^2+ 2.6x+1.2$?

#2: Zet de vergelijking y=91x^2-112$ om in hoekpuntvorm. Wat is het hoekpunt?

#3: Gegeven de vergelijking $y=2(x-3/2)^2-9$, wat zijn de $x$-coördinaten van waar deze vergelijking de $x$-as snijdt?

#4: Zoek het hoekpunt van de parabool $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

body_vertexformsolutions

Parabool Vertex Form Praktijk: Oplossingen

#1: Wat is de topvorm van de kwadratische vergelijking ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Begin met het scheiden van de niet-$x$ variabele aan de andere kant van de vergelijking:

$ y-1,2 = x ^ 2 + 2,6x $

Aangezien onze $a$ (zoals in $ax^2+bx+c$) in de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan 1, hoeven we het hier niet uit de rechterkant te halen (hoewel je, als je wilt, kunt schrijven $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

Deel vervolgens de $ x $ coëfficiënt (2.6) door 2 en kwadratisch, voeg vervolgens het resulterende getal toe aan beide zijden van de vergelijking:

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 $

$ y-1,2 + 1 (1,69) = 1 (x ^ 2 + 2,6x + 1,69) $

Factor de rechterkant van de vergelijking tussen haakjes:

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

Combineer ten slotte de constanten aan de linkerkant van de vergelijking en verplaats ze vervolgens naar de rechterkant.

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Ons antwoord is $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Zet de vergelijking i y=91i x^2-112$ om in hoekpuntvorm. Wat is het hoekpunt?

Bij het converteren van een vergelijking naar een hoekpunt, wil je dat de $ y $ een coëfficiënt van 1 heeft, dus het eerste wat we gaan doen is beide zijden van deze vergelijking delen door 7:

$ 7j = 91x^2-112 $

$ {7j}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

acceptatiegraad van de universiteit van Illinois

Breng vervolgens de constante naar de linkerkant van de vergelijking:

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Bereken de coëfficiënt van het $x^2$-getal (de $a$) aan de rechterkant van de vergelijking

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Normaal gesproken zou je het vierkant aan de rechterkant van de vergelijking binnen de haakjes moeten invullen. $x^2$ is echter al een vierkant, dus u hoeft niets anders te doen dan de constante van de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant te verplaatsen:

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Nu het hoekpunt vinden:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$-h=0$, dus $h=0$

$+k=-16$, dus $k=-16$

Het hoekpunt van de parabool is $(0, -16)$.

#3: Gegeven de vergelijking $i y=2(i x-3/2)^2-9$, wat is (zijn) de $i x$-coördinaat(en) van waar deze vergelijking snijdt met de $i x$-as?

Omdat de vraag je vraagt ​​om de $x$-intercept(s) van de vergelijking te vinden, is de eerste stap om $y=0$ in te stellen.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Nu, er zijn een paar manieren om vanaf hier te gaan. De stiekeme manier is om het feit dat er al een vierkant in de vertex-vormvergelijking is geschreven in ons voordeel te gebruiken.

Eerst verplaatsen we de constante naar de linkerkant van de vergelijking:

$ 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

$ 9 = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Vervolgens delen we beide zijden van de vergelijking door 2:

$ 9/2 = (x-3/2) ^ 2 $

Nu, het stiekeme gedeelte. Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking:

$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3/2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

${3√2}/2=x-{3/2}$ en ${-3√2}/2=x-{3/2}$

$x=3/2+{3√2}/2$ en $x=3/2-{3√2}/2$

Als alternatief kunt u de wortels van de vergelijking vinden door eerst de vergelijking van de hoekpuntvorm terug te converteren naar de standaard kwadratische vergelijkingsvorm en vervolgens de kwadratische formule te gebruiken om deze op te lossen.

Vermenigvuldig eerst de rechterkant van de vergelijking:

$ 0 = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

Vertex-vorm: wat is het? Hoe bereken je het?

feature_vertexformparabolae

Als je eenmaal de kwadratische formule en de basis van kwadratische vergelijkingen koud hebt, is het tijd voor het volgende niveau van je relatie met parabolen: leren over hun hoekpunt vorm .

Lees verder om meer te weten te komen over de parabool vertex-vorm en hoe u een kwadratische vergelijking van standaardvorm naar vertex-vorm kunt converteren.



functie afbeelding tegoed: SBA73 /Flickr

Waarom is Vertex Form nuttig? Een overzicht

De hoekpunt vorm van een vergelijking is een alternatieve manier om de vergelijking van een parabool op te schrijven.

Normaal gesproken ziet u een kwadratische vergelijking geschreven als $ax^2+bx+c$, die, als u er een grafiek van maakt, een parabool zal zijn. Vanuit deze vorm is het eenvoudig genoeg om de wortels van de vergelijking te vinden (waar de parabool de $x$-as raakt) door de vergelijking gelijk te stellen aan nul (of door de kwadratische formule te gebruiken).

Als u het hoekpunt van een parabool moet vinden, is de standaard kwadratische vorm echter veel minder nuttig. In plaats daarvan wilt u uw kwadratische vergelijking omzetten in hoekpuntvorm.

Wat is vertex-vorm?

Terwijl de standaard kwadratische vorm $ax^2+bx+c=y$ is, de topvorm van een kwadratische vergelijking is $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

In beide vormen is $y$ de $y$-coördinaat, $x$ is de $x$-coördinaat en $a$ is de constante die aangeeft of de parabool naar boven ($+a$) of naar beneden wijst ($-a$). (Ik denk erover na alsof de parabool een kom appelmoes is; als er een $+a$ is, kan ik appelmoes aan de kom toevoegen; als er een $-a$ is, kan ik de appelmoes uit de kom schudden.)

Het verschil tussen de standaardvorm van een parabool en de topvorm is dat de topvorm van de vergelijking je ook de top van de parabool geeft: $(h,k)$.

Kijk bijvoorbeeld eens naar deze fijne parabool, $y=3(x+4/3)^2-2$:

body_afineparabool

Op basis van de grafiek ziet het hoekpunt van de parabool er ongeveer uit als (-1,5,-2), maar het is moeilijk om precies te zeggen waar het hoekpunt is, alleen al uit de grafiek. Gelukkig weten we op basis van de vergelijking $y=3(x+4/3)^2-2$ dat het hoekpunt van deze parabool $(-4/3,-2)$ is.

Waarom is het hoekpunt $(-4/3,-2)$ en niet $(4/3,-2)$ (behalve de grafiek, die duidelijk maakt dat zowel de $x$- als $y$-coördinaten van het hoekpunt is negatief)?

Herinneren: in de vertex-vormvergelijking wordt $h$ afgetrokken en wordt $k$ toegevoegd . Als je een negatieve $h$ of een negatieve $k$ hebt, moet je ervoor zorgen dat je de negatieve $h$ aftrekt en de negatieve $k$ optelt.

In dit geval betekent dit:

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x - (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

en dus is het hoekpunt $(-4/3,-2)$.

U moet altijd uw positieve en negatieve tekens controleren bij het uitschrijven van een parabool in de vorm van een hoekpunt , vooral als het hoekpunt geen positieve $x$ en $y$ waarden heeft (of voor jullie kwadrantkoppen daarbuiten, als het niet in kwadrant I staat). Dit is vergelijkbaar met de controle die u zou doen als u de kwadratische formule ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) zou oplossen en die nodig was om ervoor te zorgen dat u uw positieve en negatieven rechtstreeks voor uw $a$s, $b$s en $c$s.

Hieronder staat een tabel met verdere voorbeelden van enkele andere paraboolvertex-vormvergelijkingen, samen met hun hoekpunten. Let in het bijzonder op het verschil in het $(x-h)^2$ deel van de paraboolvertex-vormvergelijking wanneer de $x$-coördinaat van de vertex negatief is.

Parabool Vertex-vorm

Vertex Coördinaten

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

$ (4.17) $

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ (- 1/2, -2) $

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

$ (- 2.4,2.4) $

Hoe te converteren van standaard kwadratische vorm naar vertex-vorm

Meestal wanneer u wordt gevraagd om kwadratische vergelijkingen tussen verschillende vormen om te zetten, gaat u van de standaardvorm ($ax^2+bx+c$) naar de vertexvorm ($a(xh)^2+k$ ).

Het proces van het converteren van uw vergelijking van standaard kwadratische naar vertex-vorm omvat het uitvoeren van een reeks stappen die het voltooien van het vierkant worden genoemd. (Lees dit artikel voor meer informatie over het invullen van het vierkant.)

Laten we een voorbeeld doornemen van het converteren van een vergelijking van standaardvorm naar hoekpuntvorm. We beginnen met de vergelijking $y=7x^2+42x-3/14$.

Het eerste dat u wilt doen, is de constante verplaatsen, of de term zonder $x$ of $x^2$ ernaast. In dit geval is onze constante $ -3/14$. (We weten dat het is negatief $3/14$ omdat de standaard kwadratische vergelijking $ax^2+bx+c$ is, niet $ax^2+bx-c$.)

Eerst nemen we die $ -3/14 $ en verplaatsen deze naar de linkerkant van de vergelijking:

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

De volgende stap is om de 7 (de $ a $ waarde in de vergelijking) vanaf de rechterkant te ontbinden, zoals zo:

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Super goed! Deze vergelijking lijkt veel meer op een hoekpuntvorm, $y=a(x-h)^2+k$.

Op dit moment denk je misschien: 'Het enige wat ik nu hoef te doen, is de $ 3/14 $ terug naar de rechterkant van de vergelijking verplaatsen, toch?' Helaas, niet zo snel.

Als je een deel van de vergelijking tussen haakjes bekijkt, zul je een probleem opmerken: het is niet in de vorm van $(x-h)^2$. Er zijn te veel $x$s! We zijn dus nog niet helemaal klaar.

Wat we nu moeten doen, is het moeilijkste deel: het plein afmaken.

Laten we het $x^2+6x$ deel van de vergelijking eens nader bekijken. Om $(x^2+6x)$ te ontbinden in iets dat lijkt op $(xh)^2$, moeten we een constante toevoegen aan de binnenkant van de haakjes - en we zullen moeten onthouden om die constante ook aan de andere kant van de vergelijking toe te voegen (omdat de vergelijking in evenwicht moet blijven).

Om dit in te stellen (en ervoor te zorgen dat we niet vergeten de constante aan de andere kant van de vergelijking toe te voegen), gaan we een lege ruimte maken waar de constante aan weerszijden van de vergelijking komt:

$ y + 14/3 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Merk op dat we aan de linkerkant van de vergelijking ervoor hebben gezorgd dat onze $a$-waarde, 7, vóór de ruimte staat waar onze constante zal komen; dit komt omdat we niet alleen de constante aan de rechterkant van de vergelijking toevoegen, maar we vermenigvuldigen de constante met wat er buiten de haakjes staat. (Als uw $a$-waarde 1 is, hoeft u zich hier geen zorgen over te maken.)

De volgende stap is om het vierkant te voltooien. In dit geval is het vierkant dat u aan het invullen bent de vergelijking tussen haakjes - door een constante toe te voegen, verandert u het in een vergelijking die als een vierkant kan worden geschreven.

Om die nieuwe constante te berekenen, neemt u de waarde naast $x$ (6, in dit geval), deelt u deze door 2 en kwadrateert u deze.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. De constante is 9.

De reden dat we de 6 halveren en kwadrateren is dat we weten dat in een vergelijking in de vorm $(x+p)(x+p)$ (wat we proberen te bereiken), $px+px= 6x$, dus $p=6/2$; om de constante $p^2$ te krijgen, moeten we dus $6/2$ (onze $p$) nemen en kwadrateren.

Vervang nu de lege ruimte aan weerszijden van onze vergelijking door de constante 9:

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Factor vervolgens de vergelijking binnen de haakjes. Omdat we het vierkant hebben voltooid, kun je het ontbinden als $(x+{some umber})^2$.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Laatste stap: verplaats de niet-$y$ waarde van de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant:

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Gefeliciteerd! U hebt uw vergelijking met succes omgezet van standaard kwadratische naar vertex-vorm.

Nu vragen de meeste problemen je niet alleen om je vergelijkingen om te zetten van de standaardvorm naar de hoekpuntvorm; ze willen dat je de coördinaten van het hoekpunt van de parabool geeft.

Laten we, om te voorkomen dat we misleid worden door tekenveranderingen, de algemene vertex-vormvergelijking direct boven de vertex-vormvergelijking die we zojuist hebben berekend opschrijven:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

En dan kunnen we gemakkelijk $h$ en $k$ vinden:

$-h=3$

$h=-3$

$ + k = -63 {3/14} $

Het hoekpunt van deze parabool bevindt zich op coördinaten $(-3,-63{3/14})$.

Oef, dat waren een hoop geschuifel nummers! Gelukkig is het omzetten van vergelijkingen in de andere richting (van hoekpunt naar standaardvorm) een stuk eenvoudiger.

body_shufflearoundnumbers

Hoe te converteren van Vertex Form naar Standard Form

Het omzetten van vergelijkingen van hun vertexvorm naar de reguliere kwadratische vorm is een veel eenvoudiger proces: het enige wat u hoeft te doen is de vertexvorm te vermenigvuldigen.

Laten we onze voorbeeldvergelijking van eerder nemen, $y=3(x+4/3)^2-2$. Om dit in standaardvorm om te zetten, breiden we gewoon de rechterkant van de vergelijking uit:

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tadá! U heeft $y=3(x+4/3)^2-2$ succesvol omgezet naar de $ax^2+bx+c$ vorm.

body_vertexformquestions

Parabool Vertex Form Oefening: voorbeeldvragen

Om deze verkenning van de vertex-vorm af te ronden, hebben we vier voorbeeldproblemen en verklaringen. Kijk of je de problemen zelf kunt oplossen voordat je de uitleg doorleest!

#1: Wat is de topvorm van de kwadratische vergelijking $x^2+ 2.6x+1.2$?

#2: Zet de vergelijking $7y=91x^2-112$ om in hoekpuntvorm. Wat is het hoekpunt?

#3: Gegeven de vergelijking $y=2(x-3/2)^2-9$, wat zijn de $x$-coördinaten van waar deze vergelijking de $x$-as snijdt?

#4: Zoek het hoekpunt van de parabool $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

body_vertexformsolutions

Parabool Vertex Form Praktijk: Oplossingen

#1: Wat is de topvorm van de kwadratische vergelijking ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Begin met het scheiden van de niet-$x$ variabele aan de andere kant van de vergelijking:

$ y-1,2 = x ^ 2 + 2,6x $

Aangezien onze $a$ (zoals in $ax^2+bx+c$) in de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan 1, hoeven we het hier niet uit de rechterkant te halen (hoewel je, als je wilt, kunt schrijven $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

Deel vervolgens de $ x $ coëfficiënt (2.6) door 2 en kwadratisch, voeg vervolgens het resulterende getal toe aan beide zijden van de vergelijking:

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 $

$ y-1,2 + 1 (1,69) = 1 (x ^ 2 + 2,6x + 1,69) $

Factor de rechterkant van de vergelijking tussen haakjes:

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

Combineer ten slotte de constanten aan de linkerkant van de vergelijking en verplaats ze vervolgens naar de rechterkant.

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Ons antwoord is $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Zet de vergelijking $7i y=91i x^2-112$ om in hoekpuntvorm. Wat is het hoekpunt?

Bij het converteren van een vergelijking naar een hoekpunt, wil je dat de $ y $ een coëfficiënt van 1 heeft, dus het eerste wat we gaan doen is beide zijden van deze vergelijking delen door 7:

$ 7j = 91x^2-112 $

$ {7j}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

Breng vervolgens de constante naar de linkerkant van de vergelijking:

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Bereken de coëfficiënt van het $x^2$-getal (de $a$) aan de rechterkant van de vergelijking

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Normaal gesproken zou je het vierkant aan de rechterkant van de vergelijking binnen de haakjes moeten invullen. $x^2$ is echter al een vierkant, dus u hoeft niets anders te doen dan de constante van de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant te verplaatsen:

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Nu het hoekpunt vinden:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$-h=0$, dus $h=0$

$+k=-16$, dus $k=-16$

Het hoekpunt van de parabool is $(0, -16)$.

#3: Gegeven de vergelijking $i y=2(i x-3/2)^2-9$, wat is (zijn) de $i x$-coördinaat(en) van waar deze vergelijking snijdt met de $i x$-as?

Omdat de vraag je vraagt ​​om de $x$-intercept(s) van de vergelijking te vinden, is de eerste stap om $y=0$ in te stellen.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Nu, er zijn een paar manieren om vanaf hier te gaan. De stiekeme manier is om het feit dat er al een vierkant in de vertex-vormvergelijking is geschreven in ons voordeel te gebruiken.

Eerst verplaatsen we de constante naar de linkerkant van de vergelijking:

$ 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

$ 9 = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Vervolgens delen we beide zijden van de vergelijking door 2:

$ 9/2 = (x-3/2) ^ 2 $

Nu, het stiekeme gedeelte. Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking:

$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3/2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

${3√2}/2=x-{3/2}$ en ${-3√2}/2=x-{3/2}$

$x=3/2+{3√2}/2$ en $x=3/2-{3√2}/2$

Als alternatief kunt u de wortels van de vergelijking vinden door eerst de vergelijking van de hoekpuntvorm terug te converteren naar de standaard kwadratische vergelijkingsvorm en vervolgens de kwadratische formule te gebruiken om deze op te lossen.

Vermenigvuldig eerst de rechterkant van de vergelijking:

$ 0 = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

$0=2(x^2-{6/2}x+{9/4})-9$

$ 0 = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Combineer vervolgens soortgelijke termen:

$ 0 = 2x ^ 2-6x-9/2 $

Op dit punt kunt u ervoor kiezen om de factoring zelf uit te werken met vallen en opstaan, of u kunt de vergelijking in de kwadratische formule pluggen. Als ik een coëfficiënt naast de $ x ^ 2 $ zie, gebruik ik meestal de kwadratische formule, in plaats van te proberen alles recht in mijn hoofd te houden, dus laten we dat hier doornemen.

Onthoud dat $2x^2-6x-9/2$ de vorm heeft van $ax^2+bx+c$:

$x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± √ {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {72}} / 4 $

$x={6+6√2}/4$ en $x={-6-6√2}/4$

$x=3/2+{3√2}/2$ en $x=3/2-{3√2}/2$

#4: Vind het hoekpunt van de parabool $i y=({1/9}i x-6)(i x+4)$.

De eerste stap is om $y=({1/9}x-6)(x+4)$ te vermenigvuldigen, zodat de constante gescheiden is van de termen $x$ en $x^2$.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Verplaats vervolgens de constante naar de linkerkant van de vergelijking.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Factor de $ a $ waarde uit de rechterkant van de vergelijking:

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Maak een spatie aan elke kant van de vergelijking waar je de constante toevoegt om het vierkant te voltooien:

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Bereken de constante door de coëfficiënt van de $ x $ -term doormidden te delen en deze vervolgens te kwadrateren:

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Voeg de berekende constante aan beide kanten terug in de vergelijking om het vierkant te voltooien:

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Combineer gelijke termen aan de linkerkant van de vergelijking en factoriseer de rechterkant van de vergelijking tussen haakjes:

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Breng de constante aan de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant:

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

De vergelijking is in de vorm van een hoekpunt, woohoo! Om nu het hoekpunt van de parabool te vinden:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$-h=-25$ dus $h=25$

$+k=-{841/9}≈-93.4$ (afgerond)

Het hoekpunt van de parabool is at $ (25, -93,4) $.

body_parabolaquadraticform

=2(x^2-{6/2}x+{9/4})-9$

$ 0 = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Combineer vervolgens soortgelijke termen:

$ 0 = 2x ^ 2-6x-9/2 $

Op dit punt kunt u ervoor kiezen om de factoring zelf uit te werken met vallen en opstaan, of u kunt de vergelijking in de kwadratische formule pluggen. Als ik een coëfficiënt naast de $ x ^ 2 $ zie, gebruik ik meestal de kwadratische formule, in plaats van te proberen alles recht in mijn hoofd te houden, dus laten we dat hier doornemen.

Onthoud dat x^2-6x-9/2$ de vorm heeft van $ax^2+bx+c$:

$x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± √ {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {72}} / 4 $

$x={6+6√2}/4$ en $x={-6-6√2}/4$

$x=3/2+{3√2}/2$ en $x=3/2-{3√2}/2$

#4: Vind het hoekpunt van de parabool $i y=({1/9}i x-6)(i x+4)$.

De eerste stap is om $y=({1/9}x-6)(x+4)$ te vermenigvuldigen, zodat de constante gescheiden is van de termen $x$ en $x^2$.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Verplaats vervolgens de constante naar de linkerkant van de vergelijking.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Factor de $ a $ waarde uit de rechterkant van de vergelijking:

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Maak een spatie aan elke kant van de vergelijking waar je de constante toevoegt om het vierkant te voltooien:

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Bereken de constante door de coëfficiënt van de $ x $ -term doormidden te delen en deze vervolgens te kwadrateren:

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Voeg de berekende constante aan beide kanten terug in de vergelijking om het vierkant te voltooien:

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Combineer gelijke termen aan de linkerkant van de vergelijking en factoriseer de rechterkant van de vergelijking tussen haakjes:

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Breng de constante aan de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant:

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

De vergelijking is in de vorm van een hoekpunt, woohoo! Om nu het hoekpunt van de parabool te vinden:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$-h=-25$ dus $h=25$

$+k=-{841/9}≈-93.4$ (afgerond)

Het hoekpunt van de parabool is at $ (25, -93,4) $.

body_parabolaquadraticform

Interessante Artikelen

Toelatingsvoorwaarden voor Tennessee Technological University

Beste samenvatting en analyse: The Great Gatsby, hoofdstuk 9

Vragen over het einde van The Great Gatsby? Lees onze volledige hoofdstuk 9 samenvatting en plotanalyse.

327 Essentiële TOEFL Woordenschat Flashcards

Studeren voor de TOEFL? Probeer onze gratis essentiële TOEFL-woordenschat-flashcards, met instructies over de meest effectieve manier om de woorden te leren die je nodig hebt.

University of Bridgeport SAT-scores en GPA

Een Penn State-essay schrijven in 3 stappen

Hoe moet je de essay-prompt van Penn State benaderen? Onze complete gids voor het schrijven van uw Penn State-essay bevat tips en voorbeelden.

Kan ik online een geaccrediteerd middelbare schooldiploma behalen?

Benieuwd naar geaccrediteerde online middelbare scholen? In deze gids wordt uitgelegd wat dat zijn en hoe je online een geaccrediteerd middelbare schooldiploma kunt halen.

Toelatingseisen Cal State Fullerton

1290 SAT-score: Is dit goed?

Toelatingseisen Concordia College

Gemiddelde ACT-scores per staat (meest recent)

Hoe verhouden de ACT-scores van uw staat zich tot de rest van de Verenigde Staten? Ontdek hier alle ACT-scores per staat.

Waar letten hogescholen op bij toelating? Waarom zijn de SAT/ACT belangrijk?

Nu zeker waar hogescholen naar zoeken in aanvragers? We splitsen de verschillende criteria op en leggen het bijzondere belang van SAT/ACT-scores uit.

Wat moet u doen als u een C-gemiddelde GPA heeft?

Heb je een C gemiddelde GPA, of 2.0? Wat moet je doen om je GPA te verbeteren en naar de universiteit te gaan? Ontdek het hier.

Middelbare school Cordova | 2016-17 Ranglijsten | (Rancho Cordova,)

Vind staatsranglijsten, SAT/ACT-scores, AP-lessen, websites van leraren, sportteams en meer over Cordova High School in Rancho Cordova, CA.

4 tips voor opvallende Carnegie Mellon-essays

Weet je niet zeker hoe je de essay-prompts van Carnegie Mellon moet benaderen? Leer geweldige CMU-essays te schrijven en bekijk succesvolle voorbeelden van Carnegie Mellon-essays.

Volledige lijst: hogescholen in North Carolina + ranglijsten / statistieken (2016)

Solliciteren op hogescholen in North Carolina? We hebben een volledige lijst met de beste scholen in North Carolina om u te helpen beslissen waar u heen wilt.

Missouri State University ACT-scores en GPA

Alles wat u moet weten over Princeton University

Benieuwd naar Princeton University? We hebben alle informatie verzameld die je nodig hebt, inclusief toelatingspercentage, locatie, ranglijst, collegegeld en opmerkelijke alumni.

Toelatingseisen University of West Florida

Toelatingseisen Illinois Institute of Technology

Solide geometrie op ACT Math: de complete gids

Hoe moet je kubussen, cilinders en bollen aanpakken op ACT Math? Leer hier onze strategieën en tips en pas ze toe op echte ACT-rekenproblemen.

Wat u moet weten over Foothill High School

Vind staatsranglijsten, SAT/ACT-scores, AP-lessen, websites van leraren, sportteams en meer over Foothill High School in Santa Ana, CA.

Toelatingseisen Medaille College

Vraag en antwoord: hoe en waarom moet ik de tijd bijhouden op de SAT of ACT?

Kijk hoe we je een coole truc laten zien om de tijd bij te houden die binnen de regels van de SAT en ACT valt.

15 Top NYC-colleges: hoe u kunt beslissen of ze geschikt voor u zijn?

Overweegt u hogescholen in New York City? Deze gids somt de 15 beste hogescholen van NYC op en schetst de voor- en nadelen van naar school gaan in de grootste stad van de VS.

Hoe schrijf je een geweldige Community Service-essay?

Moet je een taakstraf-essay schrijven voor universiteitsaanvragen of beurzen? Hier is een gids voor het schrijven van het beste essay over de gemeenschapsdienst dat je kunt.