Driehoeken op ACT Math: Geometriegids en oefenproblemen

feature_Triangle

Als je dacht dat de ACT een grote fan was van cirkels, zet je dan schrap voor zijn absoluut schaamteloze liefde voor driehoeken. In één ademtocht mag je verwachten dat je de verschillende afmetingen van een stompe driehoek vindt, en de volgende, een gelijkbenige rechthoekige driehoek. ACT-driehoeksproblemen zullen net zo talrijk als gevarieerd zijn, dus zorg ervoor dat u vertrouwd raakt met alle verschillende typen vóór de testdag.

Dit wordt je complete gids voor ACT-driehoeken --de soorten driehoeken die op de ACT zullen verschijnen, de formules die u moet kennen om ze op te lossen, en de strategieën die u moet toepassen bij het benaderen van een driehoeksvraag. We zullen ook echte ACT-wiskundige problemen opsplitsen en u de walk-throughs geven over hoe u alle driehoeksproblemen die u tegenkomt het meest efficiënt en effectief kunt aanpakken.


Wat zijn driehoeken?

Voordat we ingaan op het oplossen van een driehoeksprobleem, laten we de basis bespreken. Een driehoek is een platte figuur die bestaat uit drie rechte lijnen die onder drie hoeken met elkaar verbonden zijn. De som van deze hoeken is 180°.



Elk van de drie zijden van een driehoek wordt een been van de driehoek genoemd en het grootste (langste) been wordt de hypotenusa genoemd. De hoek tegenover de schuine zijde is altijd de grootste van de drie hoeken.

body_SAT_triangles_21.2-1

De som van elke twee benen van een driehoek moet altijd zijngroterdan de maat van de derde zijde. Waarom? Omdat wanneer de som van twee lijnen kleiner is dan de maat van een derde lijn, ze niet allemaal kunnen aansluiten om een ​​driehoek te vormen.

Driehoeken met benen die alleen optellenlichtelijkmeer dan de hypotenusa zijn vrij lang en mager, maar ze vormen nog steeds de bult van een driehoek omdat ze samen langer zijn dan de derde zijde.

body_SAT_triangles_21-2

Maar als de benen te kort zijn, zullen ze elkaar nooit ontmoeten, hoe ondiep de hoek ook is.

body_SAT_triangles_21.01-1

En als de lijnen zijn de exact lengte van de hypotenusa, dan zullen ze afvlakken tot een perfect rechte lijn, waarbij ze de hypotenusa precies overlappen.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een ACT-probleem van dit soort:

Een driehoek heeft zijlengtes van 6 inch en 9 inch. Als de derde zijde een geheel getal is, wat is dan de kleinst mogelijke omtrek, in inches, van de driehoek?

  1. 4

  2. vijftien

  3. 18

  4. 19

  5. 29

Op basis van onze regels voor de lengtes van driehoeken weten we dat de som van twee zijden groter moet zijn dan de derde. Omdat we op zoek zijn naar dekleinsteomtrek, moeten we onze ontbrekende kant vinden door het verschil van onze twee beenlengtes te nemen:

$ 9 - 6 = $ 3

Aangezien de som van twee benen groter moet zijn dan de derde zijde, moet onze ontbrekende zijde zijngroter dan3. (Waarom? Omdat $ 6 + 3 = 9 $ en we moeten de som groter dan 9 hebben).

Als onze ontbrekende zijde een geheel getal is (waarvan ons is verteld dat het waar is), en we proberen de minimale omtrekwaarde te vinden, dan moet onze ontbrekende zijde het kleinste gehele getal groter dan 3 zijn.

Wat betekent dat onze ontbrekende kant 4 is.

Om onze omtrek te vinden, moeten we al onze zijden bij elkaar optellen:

$ 4 + 6 + 9 = $ 19

Ons laatste antwoord is D , 19.

(Opmerking: let altijd op de exacte vraag die u wordt gesteld en laat u niet misleiden door aasantwoorden! Als u te snel door de test ging, zou u in de verleiding zijn gekomen om antwoordkeuze A, 4 te selecteren, die was de waarde van de ontbrekende lengte van de zijde. Maar aangezien ons werd gevraagd om de perimeter , dit zou het verkeerde antwoord zijn geweest.)


body_awesome-1
Klaar om het rijk van speciale driehoeken te betreden (en waanzinnig geweldig te worden)?

Speciale driehoeken

Er zijn verschillende soorten speciale driehoeken, die allemaal vaak voorkomen op de ACT.

In deze sectie zullen we alle verschillende soorten driehoeken definiëren en beschrijven die u op de test zult zien. In het volgende gedeelte zullen we alle formules doornemen die u moet kennen voor uw ACT-driehoeksproblemen, en ook hoe u ze kunt gebruiken.


Gelijkzijdige driehoeken

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie gelijke benen en drie gelijke hoeken. Hoewel de beenmetingen van alles kunnen zijn (zolang ze allemaal gelijk zijn), moeten de hoekmetingen allemaal gelijk zijn aan 60°. Waarom? Omdat de hoeken van een driehoek altijd 180° moeten zijn, en $ 180/3 = 60 $.

body_equilateral-1 tot

Gelijkbenige driehoeken

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarin twee zijden en twee hoeken gelijk zijn.

body_gelijkbenige-1

De zijden tegenover gelijke hoeken zullen altijd gelijk zijn en de hoeken tegenover gelijke zijden zullen altijd gelijk zijn. Deze kennis leidt je vaak naar de juiste antwoorden op veel ACT-vragen waarin het lijkt alsof je heel weinig informatie krijgt.

body_ACT_Triangles_11

(We zullen later in de handleiding bespreken hoe u dit probleem kunt oplossen, maar houd er voor nu rekening mee dat het lijkt alsof u niet genoeg informatie krijgt.Maar, als je onthoudt dat hoeken tegenover gelijke lijnen ook gelijk zijn, dan zul je zien dat je nu precies genoeg hebt om het probleem op te lossen)


Rechte driehoeken

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan een van de hoeken 90° is (90° is een rechte hoek). Dit betekent dat desomvan de andere twee hoeken moet ook 90° zijn, aangezien de hoeken van een driehoek altijd samen 90° zijn.

body_right_triangle-1

Het been tegenover de hoek van 90° zal altijd de hypotenusa van de driehoek zijn. Dit komt door het feit dat de hoek van 90° altijd de grootste hoek in een rechthoekige driehoek zal zijn. (Waarom? Omdat twee hoeken van 90° een rechte lijn zouden vormen, geen driehoek.)

body_right_angles-1

Speciale rechthoekige driehoeken

Er zijn veel verschillende soorten rechthoekige driehoeken en sommige worden als speciaal beschouwd. Dit zijn driehoeken met vaste hoeken of lengtes van de zijden en formules die daarmee overeenkomen. Als u dit soort driehoeken (en hun formules) begrijpt, bespaart u een aanzienlijke hoeveelheid tijd terwijl u door uw test gaat.

We zullen de formules die overeenkomen met dit soort driehoeken in de volgende sectie doornemen, maar laten we nu hun definities doornemen.


Gelijkbenige Rechthoekige Driehoek

Een gelijkbenige rechthoekige driehoek is precies hoe het klinkt: een rechthoekige driehoek waarin twee zijden en twee hoeken gelijk zijn.

Hoewel de zijdelingse afmetingen kunnen veranderen, heeft een gelijkbenige driehoek altijd één hoek van 90° en twee hoeken van 45°. (Waarom? Omdat een rechthoekige driehoek per definitie één hoek van 90° moet hebben en de andere twee hoeken samen 90° moeten zijn. Dus /2 = 45$.)

body_isosceles_right-1


30-60-90 Driehoeken

Een 30-60-90 driehoek is een speciale rechthoekige driehoek die wordt bepaald door zijn hoeken. Het is een rechthoekige driehoek vanwege de hoek van 90 ° en de andere twee hoeken moeten 30 en 60 ° zijn.

body_30-60-90-1


3-4-5 en 5-12-13 Rechthoekige driehoeken

3-4-5 en 5-12-13 driehoeken zijn speciale rechthoekige driehoeken die worden gedefinieerd door de lengte van de zijden. De cijfers 3-4-5 en 5-12-13 beschrijven de lengtes van de benen van de driehoek, wat betekent dat wanneer je een rechthoekige driehoek hebt met twee beenlengtes van 4 en 5, je automatisch weet dat het derde been gelijk is aan 3. Alle consistente veelvouden van deze getallen werken ook op dezelfde manier. Dus een rechthoekige driehoek kan beenlengtes hebben van:

3 (1) -4 (1) -5 (1) => 3-4-5

3 (2) -4 (2) -5 (2) => 6-8-10

3 (3) -4 (3) -5 (3) => 9-12-15

Enzovoort.

Deze worden als speciale rechthoekige driehoeken beschouwd omdat al hun zijden gehele getallen zijn.

body_side_lengths-2 tot tot lichaamschemie Nu is het driehoek formule tijd!

Driehoeksformules

Nu u weet hoe al uw driehoeken eruit zullen zien, laten we eens kijken hoe u ontbrekende variabelen en informatie over hen kunt vinden.

U krijgt geen formules op de ACT, dus u moet al deze formules uit uw hoofd kennen. (Voor meer informatie over de formules die je nodig hebt voor de ACT-wiskundesectie, bekijk onze gids voor de 31 formules die je moet kennen vóór de testdag.)

wiskunde lessen op de middelbare school

Maar naast het onthouden van uw formules, moet u er ook voor zorgen datbegrijpenze - hoe ze werken en wanneer. Al het uit het hoofd leren in de wereld zal je niet helpen als je niet weet wanneer of hoe je ze moet toepassen bij het oplossen van je problemen.


Alle driehoeken

Gebied

$ a = {1/2} bh $

$b$ is de basis van de driehoek, wat de lengte is van een van de poten van de driehoek.

$h$ is de hoogte van een driehoek, gevonden door een rechte lijn (in een hoek van 90°) te trekken van de basis van de driehoek naar de tegenovergestelde hoek van de basis.

Dit betekent dat in een rechthoekige driehoek de hoogte de lengte is van het been dat in een hoek van 90° met de basis samenkomt. In een niet-rechthoekige driehoek moet u een nieuwe lijn maken voor uw lengte.

body_triangle_height-1

Perimeter

$p = l_1 + l_2 + l_3$

Net als bij elke andere vorm van vlakke geometrie, is de omtrek van een driehoek de som van de buitenzijden (de drie poten van de driehoek).

body_leg_perimeter-1

Rechte driehoeken

Sommige driehoeksformules zijn specifiek van toepassing op rechthoekige driehoeken, dus laten we eens kijken.

De stelling van Pythagoras

$a^2 + b^2 = c^2$

Met de stelling van Pythagoras kun je de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek vinden door de lengtes van de andere zijden te gebruiken. $a$ en $b$ duiden de kortere benen van de driehoek aan, terwijl $c$ altijd het been is tegenover de hoek van 90° (de hypotenusa).

body_ACT_Triangles_15

Volgens de stelling van Pythagoras,$a^2 + b^2 = c^2$. We weten dat de zijde met $y$ meter onze hypotenusa moet zijn, aangezien deze tegenover de hoek van 90 graden ligt. Dit betekent dat:

$a^2 + b^2 = c^2$

$ 4 ^ 2 + x ^ 2 = y ^ 2 $

Nu moeten we $y$ vinden in termen van $x$, wat betekent dat we onze $y$ moeten isoleren.

$ 16 + x ^ 2 = y ^ 2 $

$ y = √ {16 + x ^ 2} $

Ons laatste antwoord is E , $ √ {x ^ 2 + 16} $

3-4-5 en 5-12-13 driehoeken (en hun veelvouden) zijn speciaal omdat je niet door de stelling van pythagoras hoeft te werken om de zijmaten van de derde lengte te vinden. Onthoud dat als twee zijden van een rechthoekige driehoek 12 en 15 zijn, u automatisch weet dat de derde zijde 9 is (omdat (3)-4(3)-5(3) = 9-12-15$).

body_ACT_Triangles_14

Hoewel we de lengte van BC kunnen vinden met behulp van de stelling van Pythagoras, kunnen we ook gewoon weten dat het 5 is (Waarom? Omdat het de hypotenusa is van een rechthoekige driehoek met beenlengtes van 3 en 4).

Nu kunnen we een verhouding instellen om de maat van zijde AE ​​te vinden. De lengte van AE tot zijn hypotenusa zal in verhouding staan ​​tot de lengte van BD tot zijn hypotenusa.

${AE}/20 = 3/5$

AE = 60$

$ 12 $

Ons laatste antwoord is B , 12.


Gelijkbenige Rechthoekige Driehoek

$x, x, x√2$

Hoewel je de ontbrekende zijdelengtes van een gelijkbenige driehoek kunt vinden met behulp van de stelling van Pythagoras, kun je ook een kortere weg nemen en zeggen dat de gelijke zijdelengten $x$ zijn en de hypotenusa $x√2$ is.

body_x_x_x_root_2-2

Waarom werkt dit? Laten we eens kijken naar een gelijkbenig rechthoekig driehoeksprobleem.

body_ACT_Triangles_2

Het is ons gegeven dat de lengte van één zijde gelijk is aan 10, dus we weten dat het tweede been ook gelijk moet zijn aan 10 (omdat de twee benen gelijk zijn in een gelijkbenige driehoek). We kunnen de hypotenusa ook vinden met behulp van de stelling van Pythagoras omdat het een rechthoekige driehoek is. Dus:

$ 10 ^ 2 + 10 ^ 2 = c ^ 2 $

$ 100 + 100 = c ^ 2 $

$ 200 = c ^ 2 $

$ c = √200 $

$c = √100 * √2$ (Waarom konden we onze root op deze manier opsplitsen? Bekijk onze gids voor geavanceerde integers van ACT en de sectie over wortels als dit proces je niet kent.)

wat is pre-med?

$ c = 10√2 $

We hebben dus zijdelengtes van 10, 10 en 10√2. Of, met andere woorden, onze lengtes zijn $x, x$ en $x√2$.

Dus ons laatste antwoord is E , $ 10√2 $


30-60-90 Driehoek

$ x, x√3, 2x $

Net als bij een gelijkbenige rechthoekige driehoek, heeft een driehoek van 30-60-90 zijlengtes die worden bepaald door een reeks regels.

Nogmaals, je kunt deze lengtes vinden met de stelling van Pythagoras, maar je kunt ze ook altijd vinden met de regel: $x, x√3, 2x$, waarbij $x$ de zijde tegenover 30° is, $x√3$ is de zijde tegenover 60°, en x$ is de zijde tegenover 90°.

lichaam_30-60-90_voorbeeld-1 tot tot lichaamsdenkenthink Noteer nu alle formules die u niet kent. Je zult ze op de testdag moeten kennen, dus een beetje oefening en organisatie zullen nu een lange weg gaan om ze recht in je hoofd te houden.

Typische driehoeksvragen

De meeste driehoeksvragen op de ACT zullen een diagram bevatten, hoewel een paar zelden puur woordproblemen zijn. Laten we eens kijken naar enkele van de standaard soorten vragen in elke categorie.


Woord problemen

De meeste driehoekswoordproblemen zijn vrij simplistisch als je ze eenmaal hebt uitgetekend. In feite, vaak de reden waarom ze je het probleem gevenzoalseen woordprobleem in plaats van je een diagram te geven, is omdat de testmakers dachten dat het probleem te gemakkelijk op te lossen zou zijn met een afbeelding.

Teken waar mogelijk uw eigen diagram wanneer u een driehoeksprobleem krijgt zonder. Het kost je niet veel tijd en het zal veel eenvoudiger voor je zijn om de vraag te visualiseren.

body_ACT_Triangles_10

Dit zou een eenvoudig figuur moeten zijn, maar het kan nooit kwaad om het snel te schetsen om al onze onderdelen op orde te houden.

body_diagram_probleem_1.1

Er is ons verteld dat dit een rechthoekige driehoek is en dat we één ontbrekende zijde moeten vinden, dus we zullen de stelling van Pythagoras moeten gebruiken.

$a^2 + b^2 = c^2$

Met behulp van onze gegeven zijde lengtes voor $a$ en $b$, hebben we:

$ 6 ^ 2 + 7 ^ 2 = c ^ 2 $

+ 49 = c^s$

$ 85 = c ^ 2 $

$ c = √85 $

Ons laatste antwoord is G , $ √85 $


Diagramproblemen

Er zijn verschillende soorten driehoeksproblemen waarbij diagrammen betrokken zijn. Laten we ze in categorieën verdelen en de strategieën voor elk bespreken.


Diagramtype 1 - Ontbrekende waarden vinden

De meeste driehoeksproblemen vallen in deze categorie - u wordt gevraagd om een ​​ontbrekende hoek, een gebied, een omtrek of een zijlengte (onder andere) te vinden op basis van de gegeven informatie.

Sommige van deze vragen zullen ingewikkelder zijn dan andere, maar de ACT zal je altijd voldoende informatie geven om een ​​probleem op te lossen, dus het is aan jou om de aanwijzingen samen te stellen.

Laten we enkele echte ACT-wiskundige voorbeelden van dit type doornemen:

Voorbeeld 1,

body_ACT_Triangles_1

Laten we eerst onze gegeven informatie invullen, zodat we niet uit het oog verliezen welke hoeken wat meten.

body_diagram_probleem_2

We weten dat de binnenhoeken in een driehoek optellen tot 180 graden, dus we kunnen ACB vinden door onze gegevens van 180 af te trekken.

$ 180 - 30 - $ 110

$ 40 $

body_diagram_probleem_2.2

We weten ook dat elke rechte lijn 180 graden meet. BCD zijn collineair, wat betekent dat ze op een rechte lijn liggen. We kunnen daarom hoek ACD vinden door onze ACB-maat van 180 af te trekken.

$ 180 - $ 40

$ 140 $

Ons laatste antwoord is G , 140 °.


Voorbeeld 2,

body_ACT_Triangles_13

Gelijkaardige driehoeken zijn in proportie met elkaar, dus we kunnen de zijdelengtes voor driehoek BAC vinden door verhoudingen in te stellen met driehoek LKM.

${BA}/{AC} = {LK}/{KM}$

${BA}/3 = 12,5/7,5$

.5BA = 37.5$

$BA = 5$

En ons tweede deel zal hetzelfde model volgen.

${AC}/{BC} = {KM}/{LM}$

/{BC} = 7,5/15$

.5BC = 45$

$BC = 6$

Nu hebben we alle zijmaten voor driehoek BAC, wat betekent dat we de omtrek ervan kunnen vinden.

body_diagram_probleem_3

$ 5 + 3 + 6 $

$ 14 $

Ons laatste antwoord is B , 14.


Schematype 2 - Verhoudingen en (on)gelijkheden

Dit soort vragen zal u over het algemeen vragen om ofwel de verhoudingen tussen delen van verschillende driehoeken te vinden, ofwel u vragen of bepaalde zijden of hoeken van driehoeken gelijk of ongelijk zijn.

body_ACT_Triangles_8

Er wordt ons verteld dat AD gelijk is aan BC, wat betekent dat hun overeenkomstige hoeken ook gelijk zullen zijn. Dit betekent dat de hoeken CAB en DBA gelijk zijn (wat dus betekent dat de hoeken EAB en EBA gelijk zijn). We kunnen daarom antwoordkeuze K elimineren.

body_diagram_problem_4.1

Als nu de hoeken CAB en DBA gelijk zijn, dan moeten de hoeken CBA en DAB OOK gelijk zijn. Waarom? Welnu, we weten dat elke driehoek een hoek van 90 graden heeft en één hoek die gelijk is aan een onbekende meting (die we $x$ zouden kunnen noemen). Dit betekent dat de derde, resterende hoek (laten we het $y$ noemen) OOK hetzelfde moet zijn voor elke driehoek.

Elke driehoek zou dan bestaan ​​uit:

kansen om in Harvard te komen

$ 180 = 90 + x + y $

Dit betekent dat we antwoordkeuze J kunnen elimineren.

Volgens dezelfde berekening, als hoek DAB = hoek CBA, dan moeten de benen tegenover die hoeken ook gelijk zijn. Dit betekent dat AC = BD, wat betekent dat antwoordkeuze F kan worden geëlimineerd.

body_diagram_probleem_4.2

Omdat AD en CB gelijk zijn en beide deel uitmaken van een driehoek met een hypotenusa van AB, zullen de benen CA en DB elkaar kruisen op een manier die elke helft van het been gelijk maakt aan de corresponderende helft van het been van de andere driehoek. Met andere woorden, AE = EB en DE = EC. Dit betekent dat we antwoordkeuze H kunnen elimineren.

De enige antwoordkeuze die we hebben is G.AD KAN NIET gelijk zijn aan AE. Waarom? AD is het been van driehoek ADE, terwijl AE de hypotenusa is van diezelfde driehoek. Uit onze definities weten we dat de hypotenusa altijd de langste zijde van de driehoek moet zijn en dus niet gelijk kan zijn aan een van de benen.

Ons laatste antwoord is G.


Schematype 3 - Meerdere vormen of vormen binnen vormen

Zoals je uit eerdere voorbeelden kunt zien, zullen sommige driehoeksproblemen op de ACT betrekking hebben op meerdere driehoeken (of andere geometrische vormen) die samen worden gecombineerd. Deze techniek voor het presenteren van problemen is ontworpen om uw begrip van lijnen en hoeken en driehoeken op de proef te stellen.

Voor dit soort problemen moet u de informatie die u krijgt gebruiken en later oplossen voor meer informatie totdat u precies vindt wat u zoekt. Het is in wezen een domino-effect van het oplossen van problemen.

body_ACT_Triangles_7

Omdat dit probleem variabelen gebruikt, is de eenvoudigste manier om het op te lossen door onze eigen getallen in te voeren. Dus laten we dat doen.

Er wordt ons verteld dat elke niet-gearceerde driehoek een congruente rechthoekige driehoek is. Omdat variabelen moeilijk kunnen zijn om mee te werken, laten we $x$ vervangen door 4. (Waarom 4? Waarom niet!)

Dit betekent dat elke driehoek één been heeft van 4 en één been van (4) = 8$.

body_diagram_problem_5.1

Nu kunnen we de lengte van één zijde van het vierkant ABCD vinden door onze waarden bij elkaar op te tellen.

$ 4 + $ 8

$ 12 $

body_diagram_probleem_5.2

Elke zijde van het vierkant ABCD is gelijk aan 12. Nu kunnen we de totale oppervlakte vinden door deze zijde te kwadrateren, dus:

$ 12 ^ 2 $

$ 144 $

De totale oppervlakte voor ABCD is 144.

Omdat elke niet-gearceerde driehoek een rechthoekige driehoek is, kunnen we de afmetingen van de zijden voor het gearceerde vierkant vinden met behulp van de stelling van Pythagoras.

$ 4 ^ 2 + 8 ^ 2 = c ^ 2 $

$ 16 + 64 = c ^ 2 $

$ 80 = c ^ 2 $

$ c = √80 $

body_diagram_probleem_5.3

Aangezien dit de maat is van één zijde van het gearceerde vierkant, kunnen we nu het gebied voor het gearceerde vierkant vinden door dit getal te kwadrateren. Dus:

$ √80) ^ 2 $

$ 80 $

Nu moeten we ons gearceerde vierkant eenvoudig delen door ons niet-gearceerde vierkant, ABCD, om te bepalen welke fractie het is van het grotere vierkant.

$ 80 / $ 144

$ 80 ÷ 16 = 5 $ en $ 144 ÷ 16 = 9 $

$ 5 / $ 9

Ons laatste antwoord is D , $ 5 / $ 9

body_instructions Levenslessen en driehoeksstrategieën - win-win!

Strategieën voor het oplossen van een driehoeksvraag

Omdat er zoveel verschillende soorten driehoeksproblemen zijn, is het moeilijk om een ​​exact pad te vinden om ze op te lossen.

Dat gezegd hebbende, zijn uw grootste troeven en strategieën bij het oplossen van driehoeksproblemen:


1) Schrijf je formules op

Omdat je geen formules krijgt, moet je ze in je hoofd en in je hart houden. Het goede nieuws is dat hoe meer je oefent, hoe beter je zult zijn in het aframmelen van driehoekige gebieden of zijlengtes van 30-60-90 driehoeken of iets anders dat je nodig hebt.

Maarals je het gevoel hebt dat je je formules vergeet tijdens je test, neem dan een paar seconden de tijd om ze op te schrijven voordat je begint met het oplossen van je vragen. Als je dat eenmaal hebt gedaan, zullen ze er onuitwisbaar voor je zijn om van te werken voor de rest van het wiskundegedeelte, en je hoeft je geen zorgen te maken dat je ze vergeet.


2) Gebruik uw formules (en neem uw snelkoppelingen)

Als je eenmaal zeker weet dat je je formules hebt onthouden, is het gebruik ervan de absoluut meest cruciale stap voor elk driehoeksprobleem. En aangezien de meeste van je formules in wezen als snelkoppelingen werken (waarom zou je moeite doen om op te lossen met de stelling van Pythagoras als je weet dat de benen van een 30-60-90 driehoek $x, x√3, 2x$ zijn?), bespaart u veel tijd en energie wanneer u uw formules bij de hand en op orde kunt houden.


3) Als u met meerdere vormen werkt, verdeel het dan in kleine stappen

Onthoud dat het omgaan met een meervoudig driehoeksprobleem is als werken met dominostenen. Elk opeenvolgend stukje informatie maakt plaats voor het vinden van het volgende stukje informatie.

Laat je niet intimideren dat je niet genoeg informatie hebt of dat er te veel vormen of lijnen zijn om mee om te gaan. Je hebt altijd genoeg gegevens om door te gaan - concentreer je gewoon op het vinden van één vorm en één stuk informatie tegelijk, en de dominostenen vallen op hun plaats.


4) Teken het uit

Teken uw eigen diagrammen als u er geen krijgt. Tekenen bovenop van uw diagrammen wanneer u zijn gegeven foto's. Schrijf in je gegevens en alle metingen die je vindt op weg naar je ontbrekende variabele (of variabelen), markeer congruente lijnen en hoeken.

Hoe meer u uw diagrammen kunt verduidelijken, hoe kleiner de kans dat u slordige fouten maakt bij het verkeerd plaatsen of verwarren van uw getallen en gelijkheden.


body_eye_chart
Klaar om je kennis op de proef te stellen?

Test je kennis

Laten we nu je driehoekskennis testen tegen wat meer echte ACT-wiskundeproblemen.

1)

body_ACT_Triangles_11-1

2)

body_ACT_Triangles_3


3)

body_ACT_Triangles_17

4)

body_ACT_Triangles_9


antwoorden: B, F, E, H

Antwoord Uitleg:

1) Omdat ons is verteld dat dit een gelijkbenige trapezium is, weten we dat elke niet-parallelle zijde gelijk moet zijn. Dit betekent dat de hoeken die deze zijden vangen (hoeken BDC en ACD) ook gelijk moeten zijn.

wat zijn de kleuren van de regenboog

body_diagram_probleem_6.1

We weten ook dat de inwendige graden van een driehoek altijd 180 graden optellen, dus we kunnen de maat van DXC vinden door onze twee bekende hoeken af ​​te trekken van 180.

$ 180 - 25 - 25 $

$ 130 $

body_diagram_probleem_6.2

Nu is DB een rechte lijn, wat betekent dat de hoeken die de lijn vormen in totaal 180 graden moeten zijn. Dit betekent dat we hoek BXC kunnen vinden door onze bekende hoek af te trekken van 180.

$ 180 - $ 130

$ 50 $

body_diagram_probleem_6.3

Ten slotte weten we weer dat de binnenhoeken van een driehoek optellen tot 180, dus we kunnen DBC vinden door onze bekende hoeken af ​​te trekken van 180.

$ 180 - 50 - $ 35

$ 95 $

Ons laatste antwoord is B , 95 °.

2) We weten uit onze driehoeksdefinities dat hoe groter de zijde tegenover een hoek, hoe groter de hoek zal zijn. (Als u zich ooit onzeker voelt over de relaties tussen hoeken en zijden van een driehoek, kunt u ook uw regels en definities van trigonometrie raadplegen.)

Dus als we enkele willekeurige zijmetingen voor XZ en YZ hebben getekend (zolang ze de regel XZ > YZ volgen), kunnen we duidelijk zien dat hoek Y groter zal zijn dan hoek X.

body_diagram_probleem_7

Ons laatste antwoord is F, hoek X

3) Er is ons verteld dat de driehoek een rechthoekige driehoek met schuine zijde is, wat betekent dat we onze snelkoppelingen kunnen gebruiken om de andere twee lengtes van de zijden te vinden.

body_diagram_probleem_8.1

We weten dat een gelijkbenige rechthoekige driehoek zijdelengtes heeft van $x, x$ en $x√2$. Omdat we al weten dat de hypotenusa $ 8-2 $ is, kunnen we zeggen dat de andere twee zijden beide 8 meten.

body_diagram_probleem_8.2

Nu kunnen we de poten bij elkaar optellen om de omtrek te vinden.

$ 8 + 8 + 8√2 $

$ 16 + 8√2 $

Ons laatste antwoord is E, $ 16 + 8√2 $

4) Voordat we iets anders doen, laten we eerst onze gegeven informatie invullen.

body_diagram_probleem_9.1

Nu kunnen we weten dat de driehoeken en de buitenhoek allemaal collineair zijn, wat betekent dat de hoeken die de lijn vormen samen 180 zijn.°. Dit betekent dat we hoek CBD kunnen vinden door onze buitenhoek af te trekken van 180.

$ 180 - $ 140

$ 40 $

body_diagram_probleem_9.2

Nu we twee binnenhoekmaten hebben in driehoek DCB, kunnen we de maat van de derde vinden (omdat de binnenhoeken in een driehoek altijd 180 zullen zijn).

$ 180 - $ 40 - $ 47

$ 93 $

body_diagram_probleem_9.3

[Opmerking: het is u misschien opgevallen dat de som van de twee hoeken die de buitenhoek niet raken, samen gelijk zijn aan de buitenhoek - $ 47 + 93 = 140 $. Dit is geen toeval. Het zal altijd zo zijn dat de twee niet-verbonden hoeken optellen om gelijk te zijn aan de buitenhoek van elk type driehoek.)

Nu hebben we weer twee hoeken die een rechte lijn vormen, wat betekent dat we de maat van hoek CDA kunnen vinden door onze bekende hoek af te trekken van 180°.

$ 180 - $ 93

$ 87 $

body_diagram_probleem_9.4

En ten slotte vormt CAD een driehoek, wat betekent dat de binnenhoeken optellen tot 180. We kunnen hoek ACD vinden door onze twee bekende waarden af ​​te trekken van 180°.

$ 180 - 76 - 87 $

$ 17 $

Ons laatste antwoord is H, 17°.

body_tired_happy Aha, ja. Je hebt dat dutje verdiend.

De afhaalrestaurants

Of het nu een trigonometrieprobleem of een geometrieprobleem is, u zult driehoeken meerdere keren zien op een bepaalde ACT. Hoewel de meeste driehoeksproblemen redelijk eenvoudig zijn, moet je de basisbouwstenen van driehoeken en geometrie kennen om te begrijpen hoe je ze kunt oplossen.

Ken uw definities, onthoud uw formules en doe uw best om een ​​helder hoofd te houden terwijl u door uw test gaat. En, zoals altijd, oefenen, oefenen, oefenen! Hoe meer ervaring je opdoet bij het oplossen van de verscheidenheid aan driehoeksvragen die de ACT kan bedenken om je voor te stellen, hoe beter je af zult zijn.


Wat is het volgende?

Wauw! Je nam het op tegen driehoeken en won (geef jezelf een applaus)! Zin in meer geometrie? Ga naar onze gidsen over ACT-cirkels, polygonen en vaste geometrie en rond al uw meetkundestudies in één keer af.

Weet je niet zeker welk onderwerp je nu moet aanpakken? Zorg ervoor dat je een duidelijk idee hebt van alle wiskundeonderwerpen waarop je wordt getest en bekijk al onze ACT-wiskundegidsen voor referentie en oefening. Elke gids heeft definities, formules en echte ACT-oefenvragen en zal het oplossingsproces stap voor stap uitsplitsen.

Heb je uitstelgedrag gehad? Bekijk onze gids over hoe je je studietijd terug kunt nemen en die uitsteldemonen kunt verslaan.

Op zoek naar een perfecte score? Onze gids voor het behalen van een 36 op de ACT-wiskunde (geschreven door een perfecte scorer!) zal u helpen waar u heen moet.

Krijg 4 extra punten op je ACT, GEGARANDEERD

Heb je vrienden die ook hulp nodig hebben bij het voorbereiden van de test? Deel dit artikel!

Interessante Artikelen

ACT-schrijfrubriek: volledige analyse en essaystrategieën

Bekijk hoe de ACT-essayrubriek werkt en hoe u wordt beoordeeld. Leer deskundige strategieën om een ​​beter essay te schrijven en uw schrijfscore te verbeteren.

Seattle University SAT-scores en GPA

De 85 meest voorkomende achternamen ter wereld

Wat is de meest voorkomende achternaam ter wereld? We leggen uit waar ze vandaan komen en vermelden veelvoorkomende achternamen in de VS en internationaal.

Alle ACT-idiomen die u nodig hebt: volledige lijst

Wat zijn de gemeenschappelijke ACT Engelse idiomen die u moet kennen? Hier is een volledige lijst, met oefenvragen en tips.

Toelatingseisen Western New Mexico University

Wat is ACT-Academy? 7 redenen waarom het nooit genoeg zal zijn

Overweegt u ACT Academy als studiehulpmiddel te gebruiken? Lees eerst onze gids om alles te weten te komen over dit testvoorbereidingsprogramma en de mogelijke nadelen ervan.

De complete IB-fysica-syllabus: SL en HL

Wat moet je leren voor IB Physics HL en SL? Lees onze volledige IB Physics-syllabus om ervoor te zorgen dat u elk onderwerp onthoudt.

Toelatingseisen Mount Mercy University

De complete gids voor het AP Wereldgeschiedenis-examen

De AP Wereldgeschiedenis-test doen? Zorg ervoor dat u onze volledige gids leest, waarin wordt uiteengezet wat er wordt behandeld, hoe vragen eruit zien en hoe u zich kunt voorbereiden.

Hoe vals spelen op de ACT

Vraagt ​​​​u zich af hoe u de ACT kunt bedriegen? Lees onze gids over ACT-fraudeschandalen en leer hoe u de test kunt verslaan.

Wie is Bastet? Complete gids voor de Egyptische kattengodin

Benieuwd naar de Egyptische kattengodin Bastet (of Bast)? We leggen haar uiterlijk, haar eigenschappen en de rol die ze speelde in de Egyptische religie uit.

Gemiddelden hogescholen uw ACT-score?

Wanneer u meerdere ACT-scores aan hogescholen indient, hoe beschouwen zij deze dan? Nemen ze het gemiddelde of nemen ze de hoogste? Ontdek het hier.

AP Chem-formuleblad: wat staat erop en hoe te gebruiken?

Wat staat er op het formuleblad van AP Chem? Leer hoe u het meeste uit de AP Chemistry-referentietabel haalt op de examendag.

De 5 tools die je nodig hebt om je voor te bereiden op je sollicitatiegesprek

Voorbereiden op een collegegesprek? Bekijk onze lijst met handige boeken en hulpmiddelen zodat je vol vertrouwen aan je sollicitatiegesprek kunt beginnen.

Keene State College toelatingseisen

ACT-testregistratie annuleren

Hoe zeg je ACT-toetsen of inschrijvingen op? Ontdek hoe en waarom je dit misschien niet wilt doen!

Hoe u uw studieleningen consolideert: complete gids

Op zoek naar studieleningen consolideren? We leggen federale en privé-opties uit en leggen uit hoe u door het proces kunt navigeren, zodat u de beste keuze voor uzelf kunt maken.

Wat u moet weten over Robertson (Continuation) High School

Vind staatsranglijsten, SAT/ACT-scores, AP-klassen, websites van leraren, sportteams en meer over Robertson (Continuation) High School in Fremont, CA.

Toelatingsvoorwaarden Indiana University South Bend

200+ andere woorden voor gezegd: synoniemen om uw schrijven op te fleuren

Heb je woorden nodig die in je schrijven worden vervangen? Bekijk onze uitgebreide lijst met andere woorden voor zei.

De 5 beste ACT-voorbereidingscursussen: welke is geschikt voor jou?

Op zoek naar een ACT-voorbereidingsles? Bekijk onze gids voor de beste ACT-voorbereidingscursussen om de beste opties te leren en hoe u degene kunt kiezen die bij u past.

Toelatingsvoorwaarden voor Nova Southeastern University

Hoe een onafhankelijke studieklas te volgen op de middelbare school

Zelfstandig studeren op de middelbare school overwegen? Zoek uit hoe u een onafhankelijke studieklas kunt maken en krediet kunt krijgen voor uw interesses.

Toegangsvereisten voor Castleton State College

Moet ik de PSAT als tweedejaarsstudent nemen?

Als je een tweedejaarsstudent bent, is de PSAT dan belangrijk om te nemen? Ontdek waarom in onze gedetailleerde gids.