De eenvoudige gids voor de 30-60-90-driehoek

feature_triangels

Scherp, stomp, gelijkbenig, gelijkzijdig... Als het om driehoeken gaat, zijn er veel verschillende variëteiten, maar slechts een paar die 'speciaal' zijn. Deze speciale driehoeken hebben zijden en hoeken die consistent en voorspelbaar zijn en kunnen worden gebruikt om je een weg te banen door je geometrie- of trigonometrische problemen. En een driehoek van 30-60-90 - uitgesproken als 'dertig zestig negentig' - blijkt inderdaad een heel speciaal soort driehoek te zijn.

In deze gids laten we u zien wat een 30-60-90-driehoek is, waarom het werkt en wanneer (en hoe) u uw kennis ervan kunt gebruiken. Laten we er dus voor gaan!



Wat is een 30-60-90 driehoek?

Een 30-60-90 driehoek is een speciale rechthoekige driehoek (een rechthoekige driehoek is elke driehoek die een hoek van 90 graden bevat) die altijd gradenhoeken heeft van 30 graden, 60 graden en 90 graden. Omdat het een speciale driehoek is, heeft het ook zijlengtewaarden die altijd in een consistente relatie met elkaar staan.

is 1150 een goede psat-score

De basis 30-60-90 driehoeksverhouding is:

Zijde tegenover de hoek van 30°: $x$

Zijde tegenover de hoek van 60°: $x * √3$

Kant tegenover de hoek van 90°: x$

body_306090 traditioneel

Een driehoek van 30-60-90 graden kan bijvoorbeeld een lengte hebben van:

2, 2√3, 4

body_Voorbeeld 1

7, 7√3, 14

body_voorbeeld 2

√3, 3, 2√3

body_example_reverse.png

(Waarom is het langere been 3? In deze driehoek is het kortste been ($x$) $√3$, dus voor het langere been, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. En de hypotenusa is 2 keer het kortste been, of $ 2√3 $)

Enzovoort.

De zijde tegenover de hoek van 30° is altijd de kleinste , omdat 30 graden de kleinste hoek is. De zijde tegenover de hoek van 60 ° is de middelste lengte , omdat 60 graden de middelgrote gradenhoek in deze driehoek is. En ten slotte zal de zijde tegenover de hoek van 90° altijd de grootste zijde zijn (de hypotenusa) omdat 90 graden de grootste hoek is.

Hoewel het lijkt op andere soorten rechthoekige driehoeken, is de reden dat een 30-60-90 driehoek zo speciaal is, dat je maar drie stukjes informatie nodig hebt om elke andere meting te vinden. Zolang je de waarde kent van twee hoekmaten en één zijde lengte (maakt niet uit welke zijde), weet je alles wat je moet weten over je driehoek.

We kunnen bijvoorbeeld de driehoeksformule 30-60-90 gebruiken om alle resterende informatievelden van de onderstaande driehoeken in te vullen.

voorbeeld 1

body_demo 2

We kunnen zien dat dit een rechthoekige driehoek is waarin de hypotenusa twee keer zo lang is als een van de benen. Dit betekent dat dit een driehoek van 30-60-90 moet zijn en dat de kleinere gegeven zijde tegenover de 30° ligt.

Het langere been moet daarom tegenover de hoek van 60° staan ​​en * √3$ of √3$ meten.

Voorbeeld 2

body_demo 4

We kunnen zien dat dit een 30-60-90 driehoek moet zijn, omdat we kunnen zien dat dit een rechthoekige driehoek is met een gegeven maat, 30°. De ongemarkeerde hoek moet dan 60° zijn.

Aangezien 18 de maat is tegenover de hoek van 60°, moet deze gelijk zijn aan $x√3$. Het kortste been moet dan $ 18/√3$ zijn.

(Merk op dat de beenlengte in werkelijkheid /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ zal zijn omdat een noemer geen wortel/vierkantswortel kan bevatten).

En de hypotenusa zal (18/√3)$ . zijn

(Merk op dat, nogmaals, je geen radicaal in de noemer kunt hebben, dus het uiteindelijke antwoord zal in werkelijkheid 2 keer de beenlengte zijn van √3$ => √3$).

Voorbeeld 3

body_demo 3

Nogmaals, we krijgen twee hoekmetingen (90° en 60°), dus de derde maat is 30°. Omdat dit een driehoek van 30-60-90 is en de hypotenusa 30 is, zal het kortste been gelijk zijn aan 15 en het langere been gelijk aan 15√3.

body_eight bal

Het is niet nodig om de magische achtbal te raadplegen - deze regels werken altijd.

Waarom het werkt: 30-60-90 Triangle Theorema Proof

Maar waarom werkt deze speciale driehoek zoals hij werkt? Hoe weten we dat deze regels legitiem zijn? Laten we eens doornemen hoe de 30-60-90 driehoeksstelling precies werkt en bewijzen waarom deze zijdelengten altijd consistent zullen zijn.

Laten we eerst de rechthoekige driehoeken even vergeten en kijken naar an gelijkzijdige driehoek.

body_proof 1

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek die alle gelijke zijden en alle gelijke hoeken heeft. Omdat de binnenhoeken van een driehoek altijd optellen tot 180° en $ 180/3 = 60 $, een gelijkzijdige driehoek heeft altijd drie hoeken van 60°.

body_proof 2

Laten we nu een hoogte van de bovenste hoek naar de basis van de driehoek laten vallen.

body_proof 3

We hebben nu creëerde twee rechte hoeken en twee congruente (gelijke) driehoeken.

Hoe weten we dat het gelijke driehoeken zijn? Omdat we een hoogte van een . hebben laten vallen gelijkzijdig driehoek, we hebben de basis precies in tweeën gedeeld. De nieuwe driehoeken delen ook één zijlengte (de hoogte), en ze hebben allemaal dezelfde hypotenusa-lengte. Omdat ze drie zijlengtes gemeen hebben (SSS), betekent dit: de driehoeken zijn congruent.

body_proof 4

Opmerking: niet alleen zijn de twee driehoeken congruent gebaseerd op de principes van zij-zij-zijlengten, of SSS, maar ook gebaseerd op zij-hoek-zij-metingen (SAS), hoek-hoek-zijde (AAS) en hoek- zijhoek (ASA). Eigenlijk? Ze zijn zeker congruent.

Nu we de congruenties van de twee nieuwe driehoeken hebben bewezen, kunnen we zien dat de tophoeken elk gelijk moeten zijn aan 30 graden (omdat elke driehoek al hoeken heeft van 90° en 60° en moet optellen tot 180°). Dit betekent we hebben twee 30-60-90 driehoeken gemaakt.

En omdat we weten dat we de basis van de gelijkzijdige driehoek doormidden snijden, kunnen we zien dat de zijde tegenover de hoek van 30° (de kortste zijde) van elk van onze 30-60-90 driehoeken precies de helft is van de lengte van de schuine zijde .

Dus laten we onze oorspronkelijke zijlengte $x$ noemen en onze gehalveerde lengte $x/2$.

Nu hoeven we alleen nog maar de lengte van de middenzijde te vinden die de twee driehoeken delen. Om dit te doen, kunnen we eenvoudig de stelling van Pythagoras gebruiken.

body_proof finale

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$ b = {√3x} / 2 $

We houden dus over: $x/2, {x√3}/2, x$

Laten we nu elke maat met 2 vermenigvuldigen, gewoon om het leven gemakkelijker te maken en alle breuken te vermijden. Zo houden we over:

$ x $, $ x√3 $, $ 2x $

We kunnen daarom zien dat een 30-60-90 driehoek zal altijd hebben consistente zijdelengtes van $x$, $x√3$ en x$ (of $x/2$, ${√3x}/2$ en $x$).

zat oefentest khan academy

lichaamsvergelijkingen

Gelukkig voor ons kunnen we bewijzen dat de driehoeksregels van 30-60-90 waar zijn zonder dit alles.

Wanneer 30-60-90 Driehoeksregels gebruiken?

Als u de driehoeksregels van 30-60-90 kent, kunt u tijd en energie besparen bij een groot aantal verschillende wiskundige problemen, namelijk een breed scala aan geometrie- en trigonometrische problemen.

Geometrie

Een goed begrip van de 30-60-90-driehoeken stelt je in staat meetkundige vragen op te lossen die ofwel onmogelijk zouden kunnen worden opgelost zonder deze verhoudingsregels te kennen, ofwel op zijn minst veel tijd en moeite zouden vergen om de 'lange weg' op te lossen.

Met de speciale driehoeksverhoudingen kun je ontbrekende driehoekshoogten of beenlengtes achterhalen (zonder de stelling van Pythagoras te gebruiken), het gebied van een driehoek vinden met behulp van ontbrekende hoogte- of basislengte-informatie en snel omtrekken berekenen.

Elke keer dat je snelheid nodig hebt om een ​​vraag te beantwoorden, is het handig om snelkoppelingen zoals je 30-60-90-regels te onthouden.

Trigonometrie

Door de driehoeksverhouding van 30-60-90 te onthouden en te begrijpen, kunt u ook veel trigonometrische problemen oplossen zonder dat u een rekenmachine nodig hebt of dat u uw antwoorden in decimale vorm moet benaderen.

Een 30-60-90 driehoek heeft vrij eenvoudige sinussen, cosinuslijnen en raaklijnen voor elke hoek (en deze metingen zullen altijd consistent zijn).

body_trig

Sinus van 30° is altijd $ 1/2$.

Cosinus van 60° is altijd $ 1/2$.

Hoewel de andere sinussen, cosinuslijnen en raaklijnen vrij eenvoudig zijn, zijn dit de twee die het gemakkelijkst te onthouden zijn en die waarschijnlijk op tests verschijnen. Dus als u deze regels kent, kunt u deze trigonometrische metingen zo snel mogelijk vinden.

Tips voor het onthouden van de 30-60-90-regels

U weet dat deze 30-60-90 verhoudingsregels nuttig zijn, maar hoe houdt u de informatie in uw hoofd? De driehoeksregels van 30-60-90 onthouden is een kwestie van de verhouding 1: √3 : 2 onthouden, en weten dat de kortste zijde altijd tegenover de kortste hoek (30°) ligt en dat de langste zijde altijd tegenover de grootste hoek (90°).

Sommige mensen onthouden de verhouding door te denken, ' $ bi x $, $ bo 2 bi x $, $ bi x bo √ bo3 $, ' omdat de opeenvolging van '1, 2, 3' doorgaans gemakkelijk te onthouden is. De enige voorzorgsmaatregel bij het gebruik van deze techniek is om te onthouden dat de langste zijde eigenlijk de $ 2x$ is, niet de $x$ maal $√3$.

Een andere manier om uw verhoudingen te onthouden, is door: gebruik een geheugensteuntje woordspeling op de 1: wortel 3: 2 verhouding in de juiste volgorde. Bijvoorbeeld, 'Jackie Mitchell sloeg Lou Gehrig neer en 'won Ruthy ook'': één, wortel drie, twee. (En het is een waar honkbalgeschiedenisfeit om op te starten!)

Speel met je eigen geheugensteuntjes als deze je niet aanspreken - zing de verhouding tot een nummer, zoek je eigen 'één, wortel drie, twee'-zinnen of verzin een verhoudingsgedicht. Je kunt zelfs onthouden dat een driehoek van 30-60-90 half gelijkzijdig is en de afmetingen van daaruit berekenen als je ze niet wilt onthouden.

Het is echter logisch voor u om deze 30-60-90-regels te onthouden, houd die verhoudingen in uw hoofd voor uw toekomstige vragen over geometrie en trigonometrie.

body_remember

Memoriseren is je vriend, maar je kunt het laten gebeuren.

GPA-conversietool downloaden

goede onderzoekspaperonderwerpen voor de universiteit

Voorbeeld 30-60-90 Vragen

Nu we het hoe en waarom van 30-60-90 driehoeken hebben bekeken, gaan we wat oefenproblemen doornemen.

Geometrie

Een bouwvakker leunt een ladder van 40 voet tegen de zijkant van een gebouw in een hoek van 30 graden van de grond. De grond is vlak en de zijkant van het gebouw staat loodrecht op de grond. Hoe ver reikt de ladder in het gebouw, tot de dichtstbijzijnde voet?

body_geo ex.5

Zonder onze 30-60-90 speciale driehoeksregels te kennen, zouden we trigonometrie en een rekenmachine moeten gebruiken om de oplossing voor dit probleem te vinden, aangezien we slechts één zijdelingse meting van een driehoek hebben. Maar omdat we weten dat dit een speciaal driehoek, kunnen we het antwoord in slechts enkele seconden vinden.

Als het gebouw en de grond loodrecht op elkaar staan, moet dat betekenen dat het gebouw en de grond een rechte hoek (90°) vormen. Het is ook een gegeven dat de ladder de grond raakt in een hoek van 30°. We kunnen dus zien dat de resterende hoek 60° moet zijn, wat dit een 30-60-90 driehoek maakt.

body_geo ex 1

Nu weten we dat de hypotenusa (langste zijde) van deze 30-60-90 40 voet is, wat betekent dat de kortste zijde de helft van die lengte zal zijn. (Vergeet niet dat de langste zijde altijd twee keer - $ 2x $ - zo lang is als de kortste zijde.) Omdat de kortste zijde tegenover de hoek van 30° ligt, en die hoek de graadmaat is van de ladder vanaf de grond, betekent dit dat de bovenkant van de ladder raakt het gebouw 20 voet van de grond.

body_geo 2

Ons uiteindelijke antwoord is 20 voet.

Trigonometrie

Als in een rechthoekige driehoek sin Θ = /2$ en de kortste beenlengte is 8. Wat is de lengte van de ontbrekende zijde die NIET de hypotenusa is?

body_trig ex 1

Omdat u uw 30-60-90-regels kent, kunt u dit probleem oplossen zonder de stelling van Pythagoras of een rekenmachine.

Er is ons verteld dat dit een rechthoekige driehoek is, en we weten uit onze speciale rechthoekige driehoeksregels dat sinus 30° = $ 1/2$. De ontbrekende hoek moet dus 60 graden zijn, wat dit een 30-60-90 driehoek maakt.

En omdat dit een driehoek van 30-60-90 is, en ons werd verteld dat de kortste zijde 8 is, moet de hypotenusa 16 zijn en moet de ontbrekende zijde * √3$, of √3$ zijn.

body_trig ex 3

Ons laatste antwoord is 8√3.

De afhaalrestaurants

Herinnering aan de regels voor 30-60-90 driehoeken helpen je om je een weg te banen door verschillende wiskundige problemen . Maar houd er rekening mee dat, hoewel het kennen van deze regels een handig hulpmiddel is om aan uw riem te houden, u de meeste problemen nog steeds zonder ze kunt oplossen.

Houd de regels van $x$, $x√3$, x$ en 30-60-90 bij op een manier die voor jou logisch is en probeer ze recht te houden als je kunt, maar raak niet in paniek als je geest gaat uit wanneer het crunch-tijd is. Hoe dan ook, je hebt dit.

En als je meer oefening nodig hebt, ga je gang en bekijk dit 30-60-90 driehoek quiz . Veel plezier met het maken van een test!

Heb je vrienden die ook hulp nodig hebben bij het voorbereiden van de test? Deel dit artikel!

Interessante Artikelen

Beste scholen in CA | Tustin High School Rankings en Statistieken

Vind staatsranglijsten, SAT/ACT-scores, AP-lessen, websites van leraren, sportteams en meer over Tustin High School in Tustin, CA.

Carthage College ACT-scores en GPA

Wat is de gemiddelde middelbare school GPA?

Wat is de gemiddelde middelbare school GPA op nationaal niveau? Wat is de gemiddelde GPA op jouw school? Lees onze deskundige gids om erachter te komen waar je staat in vergelijking met andere middelbare scholieren.

Toelatingsvoorwaarden voor St. John's University

UT Austin SAT-scores en GPA

De beste IB-studiegids voor chemie en opmerkingen voor SL/HL

Heb je de beste aantekeningen en studiegidsen nodig voor IB Chemistry SL/HL? Lees onze deskundige gids om u voor te bereiden op de IB-chemietest.

Een vergelijkings-/contrast-essay schrijven voor The Great Gatsby

Werken aan een vergelijk en contrast essay over The Great Gatsby? Bekijk onze gids voor essay-do's en don'ts en analyse van de meest voorkomende tekenparen.

Bryn Athyn College SAT-scores en GPA

Wat is de plot van een verhaal? De 5 delen van het verhaal

Wat is plot? We splitsen de volledige plotdefinitie op om u te helpen het verhaal van elk verhaal te analyseren.

Wat u moet weten over Canyon High School

Vind staatsranglijsten, SAT/ACT-scores, AP-lessen, websites van leraren, sportteams en meer over Canyon High School in Canyon Country, CA.

Waterman-maanteken: wat betekent het?

Heb je een Waterman-maanteken? Leer wat maantekens zijn en hoe een maan in Waterman je persoonlijkheid en leven beïnvloedt.

Barry University SAT-scores en GPA

Beste scholen in CA | Red Bluff High School-ranglijsten en statistieken

Vind staatsranglijsten, SAT/ACT-scores, AP-klassen, lerarenwebsites, sportteams en meer over Red Bluff High School in Red Bluff, CA.

Toelatingseisen Muhlenberg College

Toelatingseisen Rhodes College

Zinfragmenten en run-ons in SAT-schrijven: tips en vragen

Weet jij hoe om te gaan met zinsfragmenten en doorlopende zinnen in SAT Writing? Leer onze strategieën voor deze grammaticaregel en oefen nu met realistische vragen.

ACT-testdata 2016-2017

Benieuwd wanneer de ACT in schooljaar 2016-2017 wordt aangeboden? Bekijk dit volledige schema met testdata om je voorbereiding te plannen.

Wat je nodig hebt voor UNT: toelatingsvoorwaarden

Hoe haal je het meeste uit Khan Academy SAT Prep

Overweegt u Khan Academy te gebruiken voor testvoorbereiding? We bieden tips om het meeste uit dit geweldige gratis SAT-studieprogramma te halen.

De definitieve gids voor de Xiggi-methode voor SAT-voorbereiding

Leer de belangrijkste punten van de beroemde Xiggi-methode, ontdek hoe u deze kunt toepassen op uw eigen studieplan en lees belangrijke waarschuwingen over waarom het misschien niet voor u werkt.

Toelatingsvoorwaarden City University of Seattle

Wat staat er in een AP Biologie Syllabus? Gids en voorbeelden

Een AP Biologie-syllabus schrijven (of proberen er een te begrijpen)? Onze gids legt alles uit wat de syllabus moet behandelen en waarom.

Albion College SAT-scores en GPA

UNCG ACT-scores en GPA

Barron's ACT 36 Review: moet je dit boek kopen?

Is ACT 36 van Barron het beste voorbereidingsboek voor jou? Bekijk onze volledige recensie om te beslissen.